作者：許承越
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醫學與公共衛生的統計部分，通常可以簡化成一個簡單的公式模型（model）：
Y = A*X1 + B*X2 + C*X3 + D*X4… + ε (常數)
生物統計學藉由不同的變數 / 因子 X ，來預測結果 Y。對於很多不同疾病的已知危險因子，大致上都是使用不同類似這樣的統計分析 ，反覆驗證出來的結果。
而常用的統計方式，有兩種，一種是 regression models，一種是 time-to-event analysis。這篇文章介紹 regression model。
Linear regression
Y 是一個 continuous variable。可以是身高、體重、血壓值、血糖值、或其他任何以連續狀態呈現出的數值。
跑完統計的結果，X的係數（A, B, C, D…）是 Risk difference，也就是Ｘ每多 1，Y的結果會相差多少。
在要使用 Linear regression 前，有一些前提與假設必須被滿足：1. 變數之間是獨立的、2. 變數符合特定的分佈狀況、3. Y 的結果會由不同的變數 X 組成的一個函式變化受影響、4. Y 的結果會受 X 的影響。
在進行 linear regression 前，我們可以使用 Correlation 來看 X 與 Y 之間的關聯性。Correlation 的意義是，兩個不同變數之間呈現 linear relationship 的程度。
跑完統計以後會有個 Correlation coefficient r，也會有個 p-value （一樣 p < 0.05 通常就會代表有統計上顯著意義）。 r 的值會落在 1 到 -1 之間的區間：-1 < r < 1。
1 是 100% 完全正相關，-1 是 100% 完全負相關。r 值大小的有效程度，通常會認為 r < 0.2 沒有太大意義，0.2 < r < 0.4 有弱相關，0.4 < r < 0.6 有中度程度的相關，0.6 < r 就算有一定程度的相關，不過還是要看實際使用情況跟探討內容而定。
常見的有兩種，Pearson’s correlation，以及 Spearman’s correlation。
Pearson’s correlation 評估兩者之間呈現 linear relationship的關係，也就是兩者之間的散佈圖上，有哪條直線最能代表兩者之間的關係。
Spearman’s correlation 評估兩者之間的關係，不一定要是線性的，可以是彎彎曲曲的（Monotonic relationship）
這個網站的作者有對於兩者之間圖片的比較，大家可以參考看看。
Logistic regression
Y 是一個 dichotomous variable。可以是有癌症/沒癌症、有懷孕/沒懷孕、死亡/存活、有發現/沒發現，等等。跑完統計的結果，X的係數（A, B, C, D…）是 Odds ratio（因為公式限制的關係，通常要用log以後才是 Odds ratio，不過大部分統計軟體有自動轉換的功能，所以可以記跑完的結果是 Odds ratio。）
又因為 logistic regression 實在太好用也太常見，所以後來統計學上又發展出幾個相關的統計技巧。 Logistic regression model 的 Y 是 0 or 1 的組合（有生病/沒生病、死亡/存活）等，所以如果適合的 logistic regression model 可以用來判斷陽姓與陰性。
但是會牽涉到判讀工具的 sensitivity （有病的人被正確地診斷為有病的機率）以及 specificity （沒病的人被正確地診斷為沒病的機率），而這邊可以使用的工具就是 ROC 曲線（Receiver Operating Characteristics curve）。
大家可以簡單記得，ROC curve 下面的面積（Area under the curve, AUC），也就是 C-statistic，的意義是，從樣本裡面隨機抽取一個確診的人以及一個沒有確診的人，使用這個工具來正確診斷確診者的數值高於沒有確診者的人之機率。所以如果 ROC 曲線面積越大，代表效果最好。
ROC曲線 Y 軸是 sensitivity，也就是將有病者正確診斷出有病的機率。X 軸是 1-specificity ，也就是將沒病者診斷為有病的機率，也就是偽裝陽性。我們希望 sensitivity 越高，而 1-specificity 越低，因此 ROC 曲線若越靠近圖片的左上角，則越有說服力。
此外，使用 logistic regression 也可以計算出，將X1, X2, X3,... 到 Xn 帶入 logistic regression model的公式時， Y = 1 （也就是得到我們想要的結果時）的機率。計算方式的推導有點麻煩，有興趣的話可以再上網找找看。總之可以先記 probability = e^(regression model)/(1+e^(regression model) ) 就好。
Log-binomial regression
Y 是測 Risk 或 Prevalence。也就是測一個群體中的疾病發生率或盛行率。跑完統計的結果，X的係數（A, B, C, D…）是 Risk ratio 或是 Prevalence ratio。
Poisson regression
Y 是 Incidence rate，有把時間的概念涵蓋進去。跑完統計的結果，X的係數（A, B, C, D…），是 incidence rate ratio。
Ordinal and Multinomial regression model
Y 是 ordinal variable（順序變數，例如滿意度從 1, 2, 3, 4, 5）或是 multinomial variable（例如紅色、藍色、黃色，或者是居住地為台北市、台中市、台南市、高雄市等等，沒有順序大小上差別的 variable）。X的係數（A, B, C, D…）是 Odds ratio，但因為 Y 性質的關係，在解讀時要小心，因為通常是把 Y 中選擇最小或是最大的值當作 reference 來比較，一般而言在流行病學的研究中不是那麼常見。
Regression model 的使用
依據 outcome Y 的不同，每個 X 前面的係數，則在不同的 regression model 中代表著不同的意思；統計軟體通常會給一個係數的 95% 信賴區間 (Confidence Interval, CI）以及 p-value。這邊也可以簡單記 p-value 若 < 0.05 就是統計上這個係數有顯著意義；而如果統計上有顯著意義的話，95% CI 則不會涵蓋到 1 的數值（odds ratio, incidence ratio 等不等於 1 才代表有差別）。
如果是正向影響（positive effect），則係數會大於 1，但如果是負向影響（negative effect），則係數會小於 1 。唯一例外是 Linear regression 有統計上顯著意義的話代表 95% CI 不會涵蓋到 0 的數值（因為 linear regression 中 係數是代表 rick difference，若相減不為 0 才代表有意義）。
對於只需要統計簡單應用的基礎使用者，只要記得不同 regression model 中的係數代表什麼意思，以及 logistic, log-binomial, poisson 等三個 regression model 的係數都是 log 化，但統計軟體可以幫我們將之指數化成我們要的結果。
此外，如果想要研究 variable Xs 之間的交互作用，也可以納入 interactive terms，例如：
Y = A*X1 + B*X2 + C*X3 + D*X1*X2
則 D 的意義就是當 X1 和 X2 同時存在時對於Y的影響，比 X1 或 X2 單獨存在時對 Y 的影響還要多多少。
又或者有時候想要知道某個變數經過特定的譽職後或有不同的影響，例如兒童的身高生長速率進入青春期以後會迅速增加，則可以改成：
Y = A*X + B*(X-12)
但在這邊通常會定義
If X1 > 12, 則用 X1-12帶入
If X1 <= 12, 則 X1-12 = 0
則 B 的意義就是 X 在 12 之後對 Y 的影響，比 X 在 12 之前多多少。也可以理解成當 X < 12 時，每新增 1 單位的 X，Y 受影響的幅度是 A，但是當 X > 12時，每新增 1 單位的 X，Y 受影響的幅度就是 A+B。這常見在有曲折的分佈上，或是在臨床上經過某個特別有意義的切點後，會有不同影響的變數。
